ALG-B2-M02-P023 Две циклические суммы

Подсказка 1. Вычтите первое равенство из второго.

Подсказка 2. Получите \((a-b)(b-c)(c-a)=2\), затем обозначьте две соседние разности.

Вычитание даёт \((a-b)(b-c)(c-a)=2\). Пусть \(c\) — наибольшее число. Тогда из знаков следует \(a0\), \(y=c-b>0\), \(z=c-a=x+y\). Тогда \(xyz=2\). По AM-GM, \(4xy\le(x+y)^2=z^2\), значит \(2=xyz\le\frac{z^3}{4}\), откуда \(z\ge2\). Если \(z=2\), то равенство в \(4xy\le z^2\) даёт \(x=y=1\). Тогда \(b=a+1>1\), \(c=a+2>2\), и \(a^2b+b^2c+c^2a>b^2c>2\), противоречие первому равенству. Поэтому \(z>2\), то есть \(c-a>2\).

A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.

B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.

C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.

E. Полное решение. Дано в поле solution.

F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: нужно получить скрытое произведение разностей и разобрать случай равенства.

G. Почему это не одноходовая задача. Даже после разложения нужен AM-GM и отдельное исключение равенства.