Задача
ALG-B2-M03-P007 Дроби с единицами
#7
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(x_1,\ldots,x_n>0\). Докажите \[\frac1{1+x_1}+\cdots+\frac1{1+x_n}\ge\frac{n^2}{n+x_1+\cdots+x_n}.\]
Подсказка 1. Примените Cauchy к числителям \(1,\ldots,1\).
Подсказка 2. Сумма знаменателей равна \(n+\sum x_i\).
По Cauchy, \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1^2}{1+x_i}\ge\frac{(1+\cdots+1)^2}{(1+x_1)+\cdots+(1+x_n)}=\frac{n^2}{n+\sum x_i}.\]
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, fractions.