Задача
ALG-B2-M03-P008 Фиксированная сумма знаменателей
#8
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c>0\), \(a+b+c=6\). Найдите наименьшее значение \(\frac{4}{a}+\frac{9}{b}+\frac{16}{c}\).
Подсказка 1. Запишите числители как \(2^2,3^2,4^2\).
Подсказка 2. Cauchy даст нижнюю границу \(\frac{(2+3+4)^2}{a+b+c}\).
По Cauchy, \[\frac{4}{a}+\frac{9}{b}+\frac{16}{c}\ge\frac{(2+3+4)^2}{a+b+c}=\frac{81}{6}=\frac{27}{2}.\] Равенство при \(\frac{2}{a}=\frac{3}{b}=\frac{4}{c}\), то есть \(a:b:c=2:3:4\). При сумме \(6\) это достижимо, значит минимум равен \(\frac{27}{2}\).
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, equality-case.