Задача
ALG-B2-M03-P012 Минимум дробной суммы
#12
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x,y,z>0\) и \(x+y+z=10\). Найдите минимум \(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\).
Подсказка 1. Числители равны \(1^2,2^2,3^2\).
Подсказка 2. Проверьте достижимость равенства.
По Cauchy, \[\frac1x+\frac4y+\frac9z\ge\frac{(1+2+3)^2}{x+y+z}=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}.\] Равенство при \(1/x=2/y=3/z\), то есть \(x:y:z=1:2:3\). При сумме \(10\) это достижимо, значит минимум \(\frac{18}{5}\).
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, equality-case.