Задача
ALG-B2-M03-P013 Произведение и сумма
#13
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c>0\) и \(abc=1\). Докажите \[\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+ca+a^2}\ge\frac12.\]
Подсказка 1. Условие \(abc=1\) здесь не главное.
Подсказка 2. Используйте ту же сумму знаменателей, что и в однородной задаче.
По Cauchy левая часть не меньше \[\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}.\] Этот знаменатель не превосходит \(2(a+b+c)^2\), поэтому левая часть не меньше \(\frac12\). Условие \(abc=1\) показывает, что задача может выглядеть как произведение, но метод здесь однородный.
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, normalisation.