Задача
ALG-B2-M03-P015 Сумма корней
#15
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(u,v,w>0\) и \(u+v+w=6\). Докажите \[\sqrt{u+v}+\sqrt{v+w}+\sqrt{w+u}\le6.\]
Подсказка 1. Используйте Cauchy в форме \((\sum r_i)^2\le n\sum r_i^2\).
Подсказка 2. Сумма квадратов корней равна \(2(u+v+w)\).
По Cauchy, \[(\sqrt{u+v}+\sqrt{v+w}+\sqrt{w+u})^2\le3((u+v)+(v+w)+(w+u))=6(u+v+w)=36.\] Значит, сумма корней не превосходит \(6\).
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, rms-am.