Задача
ALG-B2-M03-P014 Смешанные знаменатели
#14
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a^2}{a+b+c}+\frac{b^2}{a+2b+c}+\frac{c^2}{a+b+3c}\ge\frac{(a+b+c)^2}{3a+4b+5c}.\]
Подсказка 1. Это ровно Engel form.
Подсказка 2. Сложите знаменатели.
По Cauchy, сумма слева не меньше \[\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)+(a+2b+c)+(a+b+3c)}=\frac{(a+b+c)^2}{3a+4b+5c}.\]
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, cyclic-sum.