Задача
ALG-B2-M03-P017 Четыре кубические дроби
Пусть \(a,b,c,d>0\) и \(a+b+c+d=8\). Докажите \[\frac{a^3}{a^2+b+c}+\frac{b^3}{b^2+c+d}+\frac{c^3}{c^2+d+a}+\frac{d^3}{d^2+a+b}\ge4.\]
Подсказка 1. Сначала докажите \(\frac{a^3}{a^2+b+c}\ge a-\frac{\sqrt{b+c}}2\).
Подсказка 2. Затем оцените сумму четырёх корней через RMS-AM.
Как в предыдущей задаче, \(\frac{a^3}{a^2+b+c}\ge a-\frac{\sqrt{b+c}}2\), и аналогично для остальных слагаемых. Поэтому левая часть не меньше \[8-\frac12(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+d}+\sqrt{d+a}).\] Осталось показать, что сумма корней не больше \(8\). По Cauchy, \[(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+d}+\sqrt{d+a})^2\le4\cdot2(a+b+c+d)=64.\] Значит, сумма корней не больше \(8\), и левая часть не меньше \(4\).
A. Анализ источника. Главные объекты: дробные суммы, циклические знаменатели, переход к Engel form или предварительная оценка знаменателя. Очевидный ход обычно пытается оценивать каждую дробь отдельно. Скрытое наблюдение: надо сначала получить правильную сумму знаменателей или заменить дробь на форму, где Cauchy даёт общий контроль.
B. Новая задача. Формулировка переписана как тренировочная, сохранена архитектура решения.
C-D. Подсказки. В полях hint даны мягкая и методическая подсказки.
E. Полное решение. См. solution.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: решение сочетает предварительную оценку знаменателя и Cauchy/RMS-AM для корней.
G. Почему это не одноходовая задача. Прямой Cauchy к исходной сумме не даёт сразу нужную константу; требуется промежуточная линейная оценка.