Задача
ALG-B2-M03-P018 Циклические четвёртые степени
Пусть \(a,b,c>0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\frac{a}{b^4+2b}+\frac{b}{c^4+2c}+\frac{c}{a^4+2a}\ge1.\]
Подсказка 1. Преобразуйте \(\frac{a}{b^4+2b}\) через \(\frac{a}{b}\).
Подсказка 2. Используйте \(b^3+2\ge3b\) и затем \(ab+bc+ca\le3\).
\[\frac{a}{b^4+2b}=\frac{a}{b}-\frac{ab^2\cdot2}{b^3+2}\ge\frac{a}{b}-\frac{2ab^2}{3b}=\frac{a}{b}-\frac23ab,\] потому что \(b^3+2=b^3+1+1\ge3b\). Складывая циклически, получаем \[\sum\frac{a}{b^4+2b}\ge\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-\frac23(ab+bc+ca).\] Первая скобка не меньше \(3\) по AM-GM. Кроме того, из \(a+b+c=3\) следует \(ab+bc+ca\le3\). Поэтому правая часть не меньше \(3-\frac23\cdot3=1\).
A. Анализ источника. Главные объекты: дробные суммы, циклические знаменатели, переход к Engel form или предварительная оценка знаменателя. Очевидный ход обычно пытается оценивать каждую дробь отдельно. Скрытое наблюдение: надо сначала получить правильную сумму знаменателей или заменить дробь на форму, где Cauchy даёт общий контроль.
B. Новая задача. Формулировка переписана как тренировочная, сохранена архитектура решения.
C-D. Подсказки. В полях hint даны мягкая и методическая подсказки.
E. Полное решение. См. solution.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: требуется преобразовать дробь, применить AM-GM и затем Cauchy/квадратную оценку для \(ab+bc+ca\).
G. Почему это не одноходовая задача. Ни одна из трёх оценок отдельно не решает задачу; они должны быть собраны в цепочку.