Задача
ALG-B2-M03-P019 Квадратная замена
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x,y,z>0\). Докажите \[\frac{x^4}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^4}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^4}{z^2+zx+x^2}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}.\]
Подсказка 1. Примените Cauchy к числителям \(x^2,y^2,z^2\).
Подсказка 2. Сравните сумму знаменателей с \(3(x^2+y^2+z^2)\).
По Cauchy левая часть не меньше \[\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx}.\] Так как \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\), знаменатель не больше \(3(x^2+y^2+z^2)\). Получаем требуемую оценку \(\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\).
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, substitution.