Задача
ALG-B2-M04-P009 Циклические кубы
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a.\]
Подсказка. Рассмотрите упорядоченные последовательности \(u_i^2\) и \(u_i\).
Пусть \(u_1\le u_2\le u_3\) - числа \(a,b,c\) в порядке возрастания. Тогда \(u_1^2\le u_2^2\le u_3^2\). По rearrangement максимальная сумма \(\sum u_i^2u_{\sigma(i)}\) равна \(\sum u_i^3\). Правая часть исходного неравенства является одной из перестановок, значит она не больше.
Хорошая задача на перенос циклической записи в язык перестановок.