Задача
ALG-B2-M04-P008 Четыре неотрицательных числа
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите при \(a,b,c,d\ge0\): \[4(a^3+b^3+c^3+d^3)\ge(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2).\]
Подсказка. Примените Чебышева к последовательностям \(a,b,c,d\) и \(a^2,b^2,c^2,d^2\) после упорядочивания.
Упорядочим числа по возрастанию. Квадраты идут в том же порядке. По Чебышеву \[\frac{\sum a^3}{4}\ge\frac{\sum a}{4}\cdot\frac{\sum a^2}{4}.\] Умножаем на \(16\) и получаем неравенство.
Обобщает предыдущую задачу и готовит к \(n\)-переменным формулировкам.