Задача
ALG-B2-M04-P019 Общая степенная форма
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x_1,\ldots,x_n\ge0\), а \(m\) - натуральное число. Докажите \[\sum_{i=1}^n x_i^{m+1}\ge\frac1n\left(\sum_{i=1}^n x_i^m\right)\left(\sum_{i=1}^n x_i\right).\]
Подсказка. Упорядочьте \(x_i\). Тогда \(x_i^m\) имеет тот же порядок.
Переупорядочим числа так, что \(x_1\le\cdots\le x_n\). Тогда \(x_1^m\le\cdots\le x_n^m\). По Чебышеву \[\frac1n\sum x_i^{m+1}\ge\left(\frac1n\sum x_i^m\right)\left(\frac1n\sum x_i\right).\] Умножение на \(n\) даёт требуемое.
Это компактная обобщающая задача, полезная для дальнейших модулей по степенным средним.