Задача
ALG-B2-M04-P018 Пятая степень и произведение сумм
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[3(a^5+b^5+c^5)\ge(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3).\]
Подсказка. Упорядочьте числа. Последовательности \(a^2,b^2,c^2\) и \(a^3,b^3,c^3\) идут в одном порядке.
После упорядочивания \(a^2,b^2,c^2\) и \(a^3,b^3,c^3\) возрастают одновременно. По Чебышеву \[\frac{a^5+b^5+c^5}{3}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\cdot\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\] Умножаем на \(9\).
В задаче нужно самому выбрать две степени, а не только \(a\) и \(a^2\).