Задача
ALG-B2-M04-P021 Две степени в перестановке
#21
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[a^6+b^6+c^6\ge a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2.\]
Подсказка. Сравните одинаково упорядоченные последовательности \(u_i^4\) и \(u_i^2\).
После упорядочивания \(a,b,c\) получаем \(u_1^2\le u_2^2\le u_3^2\) и \(u_1^4\le u_2^4\le u_3^4\). По rearrangement максимальная сумма \(u_i^4u_{\sigma(i)}^2\) равна \(\sum u_i^6\). Правая часть соответствует некоторой перестановке, поэтому не превосходит левой.
Здесь ученик должен увидеть две производные последовательности, а не исходные переменные.