ALG-B2-M04-P022 Пятая степень через сумму

Подсказка. Используйте цепочку: \(\sum a^5\), \(\sum a^3\), \(\sum a^2\), \(\sum a\).

По Чебышеву для \(a^2\) и \(a^3\): \[3\sum a^5\ge(\sum a^2)(\sum a^3).\] Также \(3\sum a^3\ge(\sum a)(\sum a^2)\), а \(\sum a^2\ge\frac{(\sum a)^2}{3}\). Поэтому \(\sum a^3\ge\frac{(\sum a)^3}{9}\). Подставляя и снова используя \(\sum a^2\ge\frac{(\sum a)^2}{3}\), получаем \[3\sum a^5\ge\frac{(\sum a)^2}{3}\cdot\frac{(\sum a)^3}{9}=\frac{(\sum a)^5}{27}.\] Значит, \(\sum a^5\ge\frac{(\sum a)^5}{81}\).

Многошаговая задача: ученик должен соединить две формы Чебышева и квадратичную оценку.