Задача
ALG-B2-M04-P023 Индексы как коэффициенты
#23
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x_1\le x_2\le\cdots\le x_n\) и \(x_1+x_2+\cdots+x_n=0\). Докажите \[\sum_{i=1}^n i\,x_i\ge0.\]
Подсказка. Последовательности \(1,2,\ldots,n\) и \(x_1,\ldots,x_n\) упорядочены одинаково.
По Чебышеву \[\frac1n\sum_{i=1}^n i\,x_i\ge\left(\frac1n\sum_{i=1}^n i\right)\left(\frac1n\sum_{i=1}^n x_i\right)=0.\] Следовательно, \(\sum i x_i\ge0\).
Сложность не в вычислениях, а в распознавании коэффициентов как второй упорядоченной последовательности.