Задача
ALG-B2-M05-P002 Сумма корней
#2
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(x,y,z\ge0\) и \(x+y+z=27\). Докажите \[\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le9.\]
Подсказка. Функция \(\sqrt{x}\) вогнута.
По Йенсену для вогнутой функции \(\sqrt{x}\): \[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{3}\le\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}=\sqrt{9}=3.\] Значит, сумма корней не больше \(9\).
Важно не перепутать направление: корень вогнут, поэтому получается верхняя оценка.