Задача
ALG-B2-M05-P003 Обратные величины
#3
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge\frac{9}{a+b+c}.\]
Подсказка. Используйте выпуклость \(f(x)=1/x\).
По Йенсену \[\frac13\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge\frac{1}{(a+b+c)/3}=\frac{3}{a+b+c}.\] Умножаем на \(3\).
Эта задача связывает Йенсена с уже знакомой оценкой Коши.