Задача
ALG-B2-M05-P007 Взвешенный квадрат
#7
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(0\le p\le1\). Докажите \[p x^2+(1-p)y^2\ge(px+(1-p)y)^2.\]
Подсказка. Это Йенсен для \(x^2\) с весами \(p\) и \(1-p\).
Так как \(f(t)=t^2\) выпукла, \[p f(x)+(1-p)f(y)\ge f(px+(1-p)y).\] Это и есть требуемое неравенство.
Вводит веса без лишней техники.