Задача
ALG-B2-M05-P010 Максимум произведения
#10
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a,b,c>0\) и \(a+b+c=12\). Найдите наибольшее возможное значение \(abc\).
Подсказка. Примените Йенсена к \(\ln x\), а затем вернитесь от логарифмов к произведению.
Так как \(\ln x\) вогнута, \[\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}\le\ln\frac{a+b+c}{3}=\ln4.\] Следовательно, \(\ln(abc)\le\ln64\), то есть \(abc\le64\). Равенство при \(a=b=c=4\).
Задача закрепляет связку “произведение - логарифм - вогнутость”.