Задача
ALG-B2-M05-P009 Максимум суммы корней
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(x,y,z\ge0\) и \(x+y+z=48\). Найдите наибольшее возможное значение \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\).
Подсказка. Максимум для вогнутой функции достигается при равных аргументах.
По Йенсену \[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{3}\le\sqrt{\frac{48}{3}}=4.\] Поэтому сумма не больше \(12\). Равенство достигается при \(x=y=z=16\), значит максимум равен \(12\).
Это уже задача на экстремум, а не только на доказательство неравенства.