Задача
ALG-B2-M05-P012 Вогнутая дробь
#12
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\) и \(a+b+c=3\). Докажите \[\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le\frac32.\]
Подсказка. Рассмотрите \(f(x)=\frac{x}{1+x}\).
Функция \(f(x)=\frac{x}{1+x}\) вогнута при \(x\ge0\). По Йенсену \[\frac13\sum\frac{a}{1+a}\le \frac{1}{1+1}=\frac12.\] Значит, сумма не больше \(\frac32\).
Здесь важно правильно определить вогнутость, иначе направление легко перепутать.