Задача
ALG-B2-M05-P013 Четвёртые степени
#13
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[a^4+b^4+c^4\ge\frac{(a+b+c)^4}{27}.\]
Подсказка. Функция \(x^4\) выпукла на \(x\ge0\).
По Йенсену \[\frac{a^4+b^4+c^4}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^4.\] Умножаем на \(3\): \(\sum a^4\ge\frac{(a+b+c)^4}{27}\).
Готовит к степенным средним и более сильным оценкам.