Задача
ALG-B2-M05-P024 Обратные квадраты
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x_1,\ldots,x_n>0\) и \(x_1+\cdots+x_n=n\). Докажите \[\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}+\cdots+\frac1{x_n^2}\ge n.\]
Подсказка. Функция \(f(x)=1/x^2\) выпукла при \(x>0\).
По Йенсену \[\frac1n\sum_{i=1}^n\frac1{x_i^2}\ge \frac{1}{\left((x_1+\cdots+x_n)/n\right)^2}=1.\] Умножаем на \(n\) и получаем требуемое.
Итоговая задача на общую форму и контроль области определения.