Задача
ALG-B2-M05-P023 Общее степенное произведение
#23
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x_1,\ldots,x_n>0\) и \(x_1+\cdots+x_n=n\). Докажите \[\prod_{i=1}^n x_i^{x_i}\ge1.\]
Подсказка. Возьмите логарифм произведения и примените Йенсена к \(t\ln t\).
Так как \(f(t)=t\ln t\) выпукла при \(t>0\), по Йенсену \[\frac1n\sum_{i=1}^n x_i\ln x_i\ge f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)=f(1)=0.\] Значит, \(\ln\prod x_i^{x_i}=\sum x_i\ln x_i\ge0\). Следовательно, \(\prod x_i^{x_i}\ge1\).
Сильная задача на перенос трёхпеременной идеи в общий вид.