Задача
ALG-B2-M06-P018 Schur при p равно 1
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\) и \(a+b+c=1\). Докажите \[a^3+b^3+c^3+6abc\ge ab+bc+ca.\]
Подсказка. Перепишите \(\sum a^3\) как \(1-3q+3r\).
Так как \(p=1\), \(\sum a^3=1-3q+3r\). Левая минус правая часть равна \(1-4q+9r\). Это Schur degree \(3\) при \(p=1\): \(p^3-4pq+9r\ge0\). Следовательно, неравенство верно.
Задача показывает, как фиксированная сумма упрощает Schur.