Задача
ALG-B2-M06-P017 Квадрат q
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[(ab+bc+ca)^2\ge3abc(a+b+c).\]
Подсказка. Примените \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) к \(x=ab\), \(y=bc\), \(z=ca\).
Положим \(x=ab\), \(y=bc\), \(z=ca\). Тогда \((x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx)\). Левая часть равна \(q^2\), а \(xy+yz+zx=abc(a+b+c)=pr\). Поэтому \(q^2\ge3pr\).
Важная базовая связь между \(p,q,r\).