Задача
ALG-B2-M07-P009 Дроби с соседними суммами
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}.\]
Подсказка. Это однородное неравенство степени \(1\); примените Cauchy.
По Cauchy, \[\sum\frac{a^2}{a+b}\ge\frac{(a+b+c)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}.\]
Хороший пример, где нормировка суммы возможна, но Cauchy быстрее.