Задача
ALG-B2-M07-P011 Произведение при сумме
#11
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=1\). Докажите \[abc\le\frac1{27}.\]
Подсказка. Это AM-GM, но запишите результат в однородной форме.
По AM-GM, \(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\). Так как сумма равна \(1\), получаем \(\sqrt[3]{abc}\le1/3\), значит \(abc\le1/27\). Однородная форма: \(abc\le\frac{(a+b+c)^3}{27}\).
Здесь важно увидеть, как константа \(\frac1{27}\) гомогенизируется.