Задача
ALG-B2-M07-P012 Квадраты при произведении
#12
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c>0\), \(abc=1\). Докажите \[a^2+b^2+c^2\ge3.\]
Подсказка. Примените AM-GM к \(a^2,b^2,c^2\).
По AM-GM, \(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1\). Следовательно, \(\sum a^2\ge3\).
Простая задача на \(abc=1\), но полезная для дальнейших замен.