Задача
ALG-B2-M07-P018 Нормировка произведения в дробях
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c>0\). Докажите \[\frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}\ge3.\]
Подсказка. Нормируйте \(abc=1\).
Выражение имеет степень \(0\). Разделим \(a,b,c\) на \(\sqrt[3]{abc}\), тогда произведение станет \(1\), а значение выражения не изменится. При \(abc=1\) нужно доказать \(a^2+b^2+c^2\ge3\), что следует из AM-GM.
Более сложная форма той же нормировки \(abc=1\).