Задача
ALG-B2-M07-P017 Четвёртая степень против произведения
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[a^4+b^4+c^4\ge abc(a+b+c).\]
Подсказка. Неравенство однородно степени \(4\). Можно использовать результат из UVW-модуля или Muirhead/AM-GM.
Это симметрическое однородное неравенство степени \(4\). По уже доказанной UVW-форме, достаточно проверить \(b=c=1\), \(a=t\): \(t^4+2\ge t(t+2)\), что равносильно \((t-1)^2(t^2+2t+2)\ge0\). На границе правая часть равна \(0\). Следовательно, неравенство верно.
Связывает текущий модуль с предыдущим UVW-модулем.