Задача
ALG-B2-M09-P001 Минимум квадратов
#1
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(a+b+c=6\). Найдите минимальное значение \(a^2+b^2+c^2\).
Подсказка. Используйте \((a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)\).
По Cauchy, \(36=(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)\). Следовательно, \(\sum a^2\ge12\). Равенство достигается при \(a=b=c=2\), значит минимум равен \(12\).
Базовая задача: фиксированная сумма и выпуклая величина.