Задача
ALG-B2-M09-P007 Максимум суммы корней
#7
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(x,y,z\ge0\), \(x+y+z=12\). Найдите максимум \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\).
Подсказка. Корень - вогнутая функция.
По Jensen, \(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}3\le\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}=2\). Поэтому сумма не больше \(6\). Равенство при \(x=y=z=4\).
Вогнутость даёт максимум при равенстве.