Задача
ALG-B2-M09-P009 Кубическая сумма
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=S\). Докажите \[a^3+b^3+c^3\ge\frac{S^3}{9}.\]
Подсказка. Используйте Jensen для \(x^3\) на \(x\ge0\).
Функция \(x^3\) выпукла на \(x\ge0\). По Jensen, \(\frac{\sum a^3}{3}\ge\left(\frac{S}{3}\right)^3\). Следовательно, \(\sum a^3\ge S^3/9\). Равенство при \(a=b=c=S/3\).
Показывает, как фиксированная сумма работает со степенями.