Задача
ALG-B2-M09-P011 Попарная сумма при произведении
#11
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c>0\), \(abc=1\). Докажите \[ab+bc+ca\ge3.\]
Подсказка. Примените AM-GM к \(ab,bc,ca\).
По AM-GM, \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\). Равенство при \(ab=bc=ca=1\), то есть при \(a=b=c=1\).
Фиксированное произведение контролирует \(q\).