Задача
ALG-B2-M09-P013 Дробь x/(1+x)
#13
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le\frac32.\]
Подсказка. Функция \(x/(1+x)\) вогнута при \(x\ge0\).
По Jensen для вогнутой функции \(f(x)=x/(1+x)\), \(\frac13\sum f(a)\le f(1)=1/2\). Значит, сумма не больше \(3/2\). Равенство при \(a=b=c=1\).
Типичный экстремум дробной суммы при фиксированной сумме.