Задача
ALG-B2-M09-P014 Обратная дробь со сдвигом
#14
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\frac1{1+a}+\frac1{1+b}+\frac1{1+c}\ge\frac32.\]
Подсказка. Функция \(1/(1+x)\) выпукла.
По Jensen для выпуклой функции \(f(x)=1/(1+x)\), \(\frac13\sum f(a)\ge f(1)=1/2\). Следовательно, сумма не меньше \(3/2\).
Парная задача к предыдущей: направление меняется из-за выпуклости.