Задача
ALG-B2-M09-P018 Квадраты при произведении
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c>0\), \(abc=1\). Докажите \(a^2+b^2+c^2\ge3\).
Подсказка. Примените AM-GM к \(a^2,b^2,c^2\).
По AM-GM, \(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1\). Поэтому \(a^2+b^2+c^2\ge3\). Равенство при \(a=b=c=1\).
Фиксированное произведение для степенной суммы.