Задача
ALG-B2-M09-P017 Произведение при фиксированном q
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c>0\), \(ab+bc+ca=3\). Докажите \(abc\le1\).
Подсказка. Используйте \(q^2\ge3pr\) и \(p^2\ge3q\).
Пусть \(p=a+b+c\), \(q=3\), \(r=abc\). Из \(p^2\ge3q=9\) следует \(p\ge3\). Также \(q^2\ge3pr\), то есть \(9\ge3pr\), значит \(r\le3/p\le1\). Следовательно, \(abc\le1\). Равенство при \(a=b=c=1\).
Хорошая задача на сочетание двух \(p,q,r\)-связей.