Задача
ALG-B2-M10-P001 Дроби с суммой 3
#1
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}+\frac{c^2}{1+c}\ge\frac32.\]
Подсказка. Сумма знаменателей тоже фиксирована.
По Cauchy, \[\sum\frac{a^2}{1+a}\ge\frac{(a+b+c)^2}{(1+a)+(1+b)+(1+c)}=\frac{9}{6}=\frac32.\] Равенство достигается при \(a=b=c=1\).
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.