Задача
ALG-B2-M10-P002 Три квадратичных знаменателя
#2
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\frac1{a^2+a+1}+\frac1{b^2+b+1}+\frac1{c^2+c+1}\ge1.\]
Подсказка. Проверьте выпуклость функции \(f(x)=1/(x^2+x+1)\) на \(x\ge0\).
Для \(x\ge0\) функция \(f(x)=1/(x^2+x+1)\) выпукла. По Jensen, \[\frac13\sum f(a)\ge f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)=f(1)=\frac13.\] Умножая на \(3\), получаем требуемое.
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.