Задача
ALG-B2-M10-P004 Schur четвёртой степени
#4
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[\sum a^4+abc(a+b+c)\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^3b.\]
Подсказка. Это Schur degree \(4\): проверьте \(b=c\) и границу.
Неравенство симметрично. По UVW достаточно проверить \(b=c\) и границу. При \(b=c=1\), \(a=t\), разность равна \(t^2(t-1)^2\ge0\). При \(c=0\) получаем \(a^4+b^4-a^3b-ab^3=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge0\). Следовательно, неравенство доказано.
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.