Задача
ALG-B2-M10-P005 Квадраты в знаменателях
#5
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac32.\]
Подсказка. Cauchy даёт дробь с \((a+b+c)^2\), затем нужна оценка \( (a+b+c)^2\ge3(a^2+b^2+c^2)\).
По Cauchy, \[\sum\frac{a^2}{b^2+c^2}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}.\] Так как \((a+b+c)^2\ge3(a^2+b^2+c^2)\), получаем нижнюю оценку \(3/2\).
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.