Задача
ALG-B2-M10-P012 Произведение со сдвигом
#12
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c>0\), \(abc=1\). Докажите \[(1+a)(1+b)(1+c)\ge8.\]
Подсказка. Раскройте произведение и оцените \(a+b+c\) и \(ab+bc+ca\).
\((1+a)(1+b)(1+c)=1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc\). При \(abc=1\) имеем \(a+b+c\ge3\) и \(ab+bc+ca\ge3\). Поэтому произведение не меньше \(1+3+3+1=8\).
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.