Задача
ALG-B2-M10-P011 Корни с запасом
#11
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le3+\frac12\left((a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\right).\]
Подсказка. Сначала докажите более сильное \(\sum\sqrt{a}\le3\).
По Jensen для вогнутой функции \(\sqrt{x}\), \(\frac13\sum\sqrt{a}\le\sqrt{(a+b+c)/3}=1\). Значит, \(\sum\sqrt{a}\le3\). Правая часть задачи не меньше \(3\), так как добавленная сумма квадратов неотрицательна.
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.