Задача
ALG-B2-M10-P014 Четвёртые степени против смешанных членов
#14
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[a^4+b^4+c^4\ge abc(a+b+c).\]
Подсказка. Оцените отдельно \(a^2bc\), \(ab^2c\), \(abc^2\) через четыре четвёртые степени.
По AM-GM имеем \[2a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^8b^4c^4}=4a^2bc.\] Аналогично, \[2b^4+c^4+a^4\ge4ab^2c,\qquad 2c^4+a^4+b^4\ge4abc^2.\] Складывая три оценки, получаем \[4(a^4+b^4+c^4)\ge4abc(a+b+c),\] откуда следует требуемое неравенство.
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.