Задача
ALG-B2-M10-P015 Нормированное Schur
#15
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[a^3+b^3+c^3+6abc\ge ab+bc+ca.\]
Подсказка. Запишите \(\sum a^3=27-9q+3r\) при \(p=3\), либо используйте Schur.
По Schur degree \(3\), \(p^3-4pq+9r\ge0\). При \(p=3\) это \(27-12q+9r\ge0\). С другой стороны, \(\sum a^3+6r-q=(27-9q+3r)+6r-q=27-10q+9r\). Так как \(q\le3\), имеем \(27-10q+9r\ge27-12q+9r\ge0\). Неравенство доказано.
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.