Задача
ALG-B2-M10-P020 Разнесённые числа
Пять действительных чисел \(u_1,\ldots,u_5\) таковы, что любые два из них отличаются не менее чем на \(2\). Для некоторого действительного \(m\) выполнено \[\sum_{i=1}^5u_i=3m,\qquad \sum_{i=1}^5u_i^2=3m^2.\] Докажите, что \(m^2\ge\frac{100}{3}\).
Подсказка 1. Упорядочьте числа: \(v_1<\cdots Подсказка 2. Оцените \(\sum_{i
Упорядочим числа: \(v_1<\cdots
A. Анализ источника. Главные объекты: набор действительных чисел, ограничения на расстояния, сумма и сумма квадратов.
B. Недостаточный первый ход. Cauchy по сумме и сумме квадратов даёт слишком слабую оценку и не использует расстояния между всеми парами.
C. Скрытое наблюдение. Нужно суммировать квадраты всех попарных разностей.
D. Нужный ход. После упорядочивания расстояния снизу сравниваются с арифметической прогрессией.
E. Число идей. Три идеи: упорядочивание, нижняя оценка попарных разностей, тождество для суммы квадратов разностей.
F. Обоснование уровня. Финальный уровень 8: метод скрыт, и нужно совместить дискретное расположение чисел с квадратичным тождеством.
G. Почему это не одношаговая задача. Это не одношаговая задача: ни условие о суммах, ни условие о расстояниях по отдельности не дают нужной оценки.